• Les mathématiques chez les animaux

    Nature insolite

    Les mathématiques chez les animaux  
     
    Des chercheurs genevois ont prouvé que l'évolution des motifs du lézard ocellé peut être expliquée par un système mathématique inventé en 1948. Une découverte qui fait la couverture du journal scientifique Nature.

    Les mathématiques chez les animaux

    Les motifs qu’arborent les animaux ne sont pas dus au hasard. Les rayures du poisson zèbre ou les taches des guépards et des girafes sont déterminées par des équations formulées par le mathématicien Alan Turing. Mais dans le cas du lézard ocellé, ces équations ne fonctionnent pas.

    Des chercheurs genevois ont montré que l'évolution de ses motifs peut être expliquée par un système mathématique - l'automate cellulaire - inventé en 1948 par John von Neumann,( né Neumann János Lajos en 1903 à Budapest et mort en 1957 à Washington, est un mathématicien et physicien américano-hongrois. Il a apporté d'importantes contributions tant en mécanique quantique qu'en analyse fonctionnelle, en théorie des ensembles, en informatique, en sciences ...)

    Les automates cellulaires sont des réseaux abstraits dans lesquels chaque élément change d'état - en l'occurrence la couleur verte ou noire - en fonction de l'état des éléments voisins. Les éléments sont appelés "cellules", mais dans le cas des lézards, ils correspondent aux écailles et non aux cellules biologiques.

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    Du concept à la réalité

    Dans la revue Nature, les chercheurs expliquent qu'ils ont observé l’animal pendant quatre ans, de sa sortie de l’œuf jusqu’à l’âge adulte. Grâce à ce système robotique très précis, ils ont reconstruit la géométrie 3D et la couleur du réseau d’écailles.

    "C'est très surprenant de retrouver sur la peau d'un animal un système de calculs qui a été utilisé pour développer des ordinateurs", a indiqué le chercheur Michel Milinkovitch à la RTS.

    C’est la première fois que le concept d’automate cellulaire trouve une réalité biologique qui permet enfin d’expliquer la coloration fascinante de certains animaux.

    Source : rts

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     L'évolution des motifs dessinés par les écailles du lézard ocellé suit un algorithme d'automate cellulaire de type von Neumann.

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    Les motifs et les taches sur le pelage des animaux 

    On retrouve des animaux à taches ou à rayures aussi bien chez les herbivores (zèbre, girafe) que chez les carnivores (tigre, léopard). Plusieurs explications à ces motifs singuliers de la peau sont possibles.

    Des taches et rayures pour se cacher ?

    En ce qui concerne les motifs des prédateurs, il est possible que taches et rayures facilitent la dissimulation dans l'environnement par mimétisme. L'alternance de zones claires et de zones sombres de l'épiderme reprend en effet celles du paysage (feuillages, branchages, ombres, etc.).

    Cette explication est moins satisfaisante dans le cas des grands herbivores qui vivent en plaine. Par leur grande taille, ils sont naturellement beaucoup plus visibles, d'autant qu'ils arborent parfois des couleurs assez différentes de celles la végétation, comme le noir et blanc du zèbre.

    Des motifs complexes pour protéger le troupeau

    Dans le même ordre d'idée, il se pourrait que ces motifs permettent moins de se confondre avec l'environnement qu'avec le troupeau. En effet, un pelage à motifs discontinus rend les animaux plus difficiles à distinguer les uns des autres, ce qui renforce l'effet protecteur du troupeau. Les prédateurs ont ainsi plus de mal à concentrer leurs efforts en sélectionnant, poursuivant et isolant une proie particulière.

    Des motifs troublant la vision des prédateurs

    Par ailleurs, les rayures pourraient produire un effet stroboscopique en cas de mouvement rapide d'un ou de plusieurs individus (tigre à l'attaque, zèbres en fuite). La rapide succession des taches sombres et claires rendrait ainsi les individus flous. Les proies auraient alors du mal à estimer la vitesse de déplacement des prédateurs, tandis que les prédateurs distingueraient encore plus difficilement leur proie potentielle.

    D'autres explications, qui convainquent moins la communauté scientifique, sont parfois avancées :
    •rôle d'identification sociale des individus ;
    •mécanisme de rafraîchissement grâce à la création de microcourants d'air entre les zones sombres et les zones claires de la peau ;
    •répulsion de la terrible mouche Tsé-tsé, qui préfère les coloris unis. Il s'est cependant avéré que les zèbres sont naturellement résistants au parasite qu'elle véhicule.

    Enfin, il est toujours possible que taches et rayures n'aient aucune fonction. En effet, au même titre que la couleur des yeux, tant qu'un caractère ne présente pas un désavantage évolutif, il peut se maintenir dans les populations sans avoir nécessairement une fonction. Source : .futura-sciences

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    Un Okapi

     Les motifs sur le pelage de certains animaux servent à les rendre difficiles à observer. Imaginons un troupeau de zèbres à travers les herbes de la savane. Dans cet amas de lignes blanches et noires, il peut être difficile de discerner l’avant et l’arrière d’un individu particulier. Et c’est justement le but. Si un prédateur comme une lionne se lance sur l’arrière d’un zèbre en croyant qu’il s’agit du devant, il aura une fraction de seconde d’avance pour se sauver par rapport à une attaque de face où il doit prendre le temps de faire demi-tour. Et dans une telle situation, une fraction de seconde peut tout changer !

     Les taches sur le pelage des animaux sont dues à la présence d’un pigment, la mélanine, fabriquée par les mélanocytes, des cellules de la peau. Les points, taches ou autres rayures apparaissent sur la peau au stade embryonnaire, quand l’animal est encore dans le ventre de sa mère. Les biologistes ont remarqué que les rayures du tigre sont visibles beaucoup plus tôt sur l’embryon que les taches du léopard. Des mathématiciens qui ont étudié le sujet se sont rendu compte que la forme des dessins dépend du degré de développement de l’embryon au moment où les premiers motifs apparaissent : l’animal est rayé quand les dessins se forment sur un embryon très jeune et tacheté sur un embryon plus développé. Mais on n’en connaît toujours pas la raison !

    Source : buzzons.  

      La Morphogénèse et Alan Turing

     La morphogenèse détermine le développement des formes d’un organisme vivant.

    Alan Mathison Turing, né le 23 juin 1912 à Londres et mort le 7 juin 1954 à Wilmslow, est un mathématicien et cryptologue britannique, auteur de travaux qui fondent scientifiquement l'informatique.

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    En 1952, Alan Turing en a proposé un modèle mathématique. Depuis lors, les structures spatiales formées par le mécanisme physicochimique très simple qu’il a suggéré s’appellent des « structures de Turing ».Comment s’explique la formation de motifs lors du développement des organismes vivants ?

     Dans un article intitulé Les bases chimiques de la morphogenèse, Alan Turing présente un modèle mathématique très simple pour expliquer la morphogenèse. Suivant ce modèle, la conjonction de certaines réactions chimiques et de la diffusion moléculaire des réactifs conduit spontanément à une variation spatiale des concentrations des espèces chimiques, produisant des motifs en bandes ou en taches régulièrement espacées

    De telles structures sont maintenant appelées « structures de réaction-diffusion » ou « structures de Turing ». Alan Turing suggère que ces processus purement physicochimiques pourraient être à la base de la morphogenèse animale et végétale en induisant le développement de structures répétées. Il prend pour exemples les motifs tachetés des guépards, le positionnement des tentacules de l’hydre ou des feuilles en rosette de l’aspérule, ainsi que la phase de développement de l’embryon appelée « gastrulation ».

    Alan Turing ne prétend pas qu’il s’agit du seul mécanisme possible de morphogenèse, ni même qu’il est effectivement à l’œuvre dans tel ou tel système vivant – il est conscient du manque de preuves expérimentales. Son but est davantage de proposer un mécanisme plausible et de montrer tout ce qu’il permet déjà d’expliquer, malgré sa simplicité. Il souligne que le modèle est une « simplification » et une « idéalisation » et par conséquent, une « falsification », mais il fait la pétition de principe que les quelques mécanismes retenus sont effectivement les mécanismes dominants. Notre propos n’est pas ici de valider l’implication des structures de Turing dans la morphogenèse biologique, mais plutôt de présenter les apports tout autant techniques que conceptuels de son approche, en soulignant sa modernité.

    Expliquer la formation de motifs

    Alan Turing souligne d’entrée le défi majeur : comment passe-t-on d’un embryon au départ parfaitement symétrique, une sphère, à un organisme structuré ? Il ramène ce problème à celui de la formation de motifs à partir d’un état homogène. Ce phénomène a déjà un nom : on parle de « brisure spontanée de symétrie ». Pourquoi ce terme, alors que les structures de Turing présentent de remarquables symétries, en l’occurrence une « périodicité spatiale des motifs », en bandes ou en taches suivant la géométrie du système (suivant la forme de l’animal par exemple) ? C’est par rapport à la symétrie complète de l’état homogène de départ qu’il y a brisure de symétrie. Mathématiquement, cela se reflète dans le fait que la solution de l’équation d’évolution présente moins de symétries que l’équation elle-même. Alan Turing donne tout de suite l’explication de base : les différentes perturbations que peut subir l’état homogène vont évoluer différemment. Certaines vont être amorties, d’autres amplifiées : ces dernières présentent des caractéristiques particulières qui se refléteront dans la solution, alors que les premières n’auront aucun effet. Ceci n’est rien d’autre qu’un phénomène de résonance, bien connu dans l’étude des pendules et autres oscillateurs. Une conséquence notable en est que la perturbation ne détermine pas les caractéristiques des motifs mais seulement la possibilité de leur émergence. L’idée est remarquable : suivant le modèle de Turing, la formation des motifs est spontanée, elle ne nécessite ni patron préalable ni prescription extérieure.

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    Léopard

    Une conjonction de réactions chimiques et de diffusion

    La dynamique qu’Alan Turing explicite dans son modèle résulte du couplage entre des réactions chimiques et la diffusion des réactifs, dans un système alimenté en continu. Les structures de Turing correspondent aux variations spatialement périodiques des concentrations des espèces chimiques. L’effet de la diffusion moléculaire est en général d’homogénéiser un mélange d’espèces chimiques. Pour observer des variations spatiales de concentrations, il faut donc que d’autres mécanismes entrent en jeu. Alan Turing propose un scénario impliquant deux espèces, qu’il appelle « morphogènes » et la conjonction des propriétés suivantes :


    •l’espèce A active sa propre production ;
    •l’espèce A active aussi la production de la seconde espèce B ;
    •l’espèce B inhibe la production de A ;
    •B diffuse plus vite que A.

    Il suffit alors qu’une petite fluctuation locale induise un léger excès de l’activateur A pour que la production de A et de B s’accélère à cet endroit. L’excès de B, diffusant plus vite que l’excès de A, crée une couronne inhibitrice autour du point initial, isolant le pic de A par une zone plus riche en B. Cette explication intuitive et locale doit être complétée par une vision plus globale. À une certaine distance de la première fluctuation, une autre peut se développer de façon analogue et créer un pic de A et ainsi de suite.

    Ces pics d’activateur découlent de l’amplification sélective des fluctuations, infimes mais innombrables, qui affectent spontanément l’état de mélange homogène. La répartition dynamiquement la plus stable de ces pics forme un motif périodique, comme les taches que l’on peut observer sur le guépard. Alan Turing parle d’« ondes stationnaires » pour désigner un tel motif, mais le terme ne doit pas prêter à confusion : la dynamique est très différente des équations d’onde décrivant la propagation du son ou de la lumière. Pour rendre compte de ces mécanismes moléculaires, Alan Turing considère un modèle macroscopique en termes de concentrations des espèces chimiques, sans jamais oublier qu’il s’agit d’une approximation que la réalité déborde. En termes mathématiques, l’évolution du système est décrite par un système d’équations différentielles (dans le cas discret où le système est représenté comme un ensemble fini de cellules et leurs concentrations respectives en espèces chimiques) ou par une équation aux dérivées partielles (dans le cas continu où le système est représenté à l’aide de champs de concentration, c’est-à-dire des fonctions continues de l’espace et du temps).

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    Zèbres

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    Girafe

    Prédiction de la période des motifs

    Alan Turing se concentre sur le moment où l’état homogène laisse place à un état structuré : c’est le moment où le mécanisme symétrie est à l’œuvre. Ce qui se passe est bien décrit par une équation d’évolution linéarisée. Une méthode de résolution systématique consiste à chercher la solution comme une superposition de modes sinusoïdaux. Le caractère linéaire de la dynamique approchée permet de considérer séparément le devenir de chaque mode. Alan Turing met en évidence des modes dits « instables » car leur amplitude augmente sous l’effet de la dynamique. Il établit la condition d’instabilité en fonction des paramètres du modèle, en particulier le rapport des coefficients de diffusion des deux espèces en présence. Il montre que plusieurs régimes sont possibles : des motifs périodiques stationnaires mais aussi des structures se propageant à vitesse constante. Cette analyse linéaire de stabilité n’est valable qu’assez près de l’état d’équilibre homogène. La période spatiale du motif est simplement celle du motif le plus instable. Alan Turing montre ainsi que cette période est intrinsèque, contrôlée par la dynamique et non due à une hétérogénéité préalable du milieu, à la géométrie ou aux conditions initiales. Il faut souligner que l’échelle spatiale des motifs est sans commune mesure avec les échelles moléculaires des processus sous-jacents, montrant le caractère émergent de leur formation. Il n’y a pas de traitement systématique de l’équation d’évolution non-linéaire pour laquelle Alan Turing recommande le recours à une résolution numérique, avec la restriction que seule une étude au cas par cas est alors possible. En présence de plusieurs modes instables, le nombre de bandes ou de taches observées dans le motif peut varier de quelques unités. On observe par exemple une variation du nombre de tentacules chez l’hydre et du nombre de feuilles dans une rosette chez l’aspérule. Alan Turing termine son article par extension à la sphère en décomposant la solution cherchée sur une base d’harmoniques sphériques. L’application qui le motive est l’étape de l’embryogenèse appelée « gastrulation », durant laquelle on observe la première invagination de l’embryon jusque-là sphérique.

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    Différentes espèces de girafe


    Il a fallu quarante ans avant que les premières structures de Turing soient mises en évidence expérimentalement. Il faut en effet des situations assez particulières où le coefficient de diffusion de l’espèce inhibitrice est beaucoup plus grand que celui de l’espèce activatrice. Il est possible que le mécanisme proposé par Alan Turing ne fournisse qu’un principe directeur de la formation des motifs observés chez les êtres vivants et que d’autres mécanismes plus fins et plus spécifiques s’y ajoutent. En effet, la similitude des motifs observés ne fournit pas la preuve que le mécanisme proposé par Alan Turing est réellement à l’œuvre. Ce piège de l’analogie se rencontre par exemple avec la structure en bandes d’un embryon de drosophile, tout à fait similaire à une structure de Turing mais où, comme l’a montré John Maynard Smith, chaque bande est en fait contrôlée individuellement par un mélange de morphogènes qui lui est spécifique. Pour obtenir des arguments supplémentaires en faveur d’un mécanisme de Turing ou pour le rejeter, on étudie les défauts et la réponse à des perturbations, par exemple la régénération ou non des motifs lors de la cicatrisation après une blessure. Cette étude permet de mieux révéler les mécanismes à l’œuvre et de préciser le niveau auquel ils entrent en jeu lors de l’embryogenèse ou bien en continu lors de la croissance de l’animal.

    Des perspectives encore prometteuses aujourd’hui

    L’article d’Alan Turing, très riche, est cependant écrit avec un grand effort pour rendre accessibles les aspects techniques, tant mathématiques que biologiques. Alan Turing y annonce une série de résultats, à paraître dans un article ultérieur... sa mort prématurée nous en a privés. Son approche est méthodologiquement exemplaire : le modèle qu’il propose montre la richesse de structures qu’on peut expliquer en n’invoquant qu’un ensemble minimal de mécanismes uniquement physicochimiques, sans avoir besoin d’arguments ou d’ingrédients spécifiques. En indiquant que les gènes contrôlent les vitesses des réactions impliquées, il fait un pas majeur dans l’explication du lien entre le génotype et les traits observés, le phénotype. Alan Turing mentionne la contribution mécanique à l’évolution du système, en particulier des forces et contraintes élastiques : il anticipe ainsi tout un champ de recherches actuel, étudiant le rôle des couplages mécanochimiques dans les processus intracellulaires ou cellulaires. Alan Turing mentionne également, sans la traiter, la difficulté liée au fait que le substrat, ici un embryon en train de se développer, n’a pas une géométrie fixée mais une géométrie qui évolue avec le temps. Ce n’est que très récemment que des chercheurs tels Jean-Louis Giavitto (un des auteurs du numéro de la revue DocSciences où cet article est paru) et ses collaborateurs ont développé le concept de « système dynamique à structure dynamique » pour envisager la formation de motifs dans un système lui-même en évolution. Et l’extension du modèle de Turing à des géométries déjà structurées, réseaux ou substrats lacunaires, commence seulement à être envisagée.

    Source : interstices


     

     

      

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